[2016년 덕이고]

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[1학년 1학기 중간]

두 다항식 [eqn: A=2x^2 -xy +3y^2], [eqn: B=3x ^{2} +2xy-y ^{2}]에 대하여
[eqn: 2A-B]는? [4.4점]

① [eqn: x^2 +5y^2]	② [eqn: x^2 -4xy +5y^2]

③ [eqn: x ^{2} -4xy+7y ^{2}]	④ [eqn: 5x^2 +xy +2y^2]

⑤ [eqn: 5x^2 -3xy +4y^2]

[eqn: (3+i)(3-2i)]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 11-3i]	② [eqn: 11+3i]	③ [eqn: 9+9i]

④ [eqn: 7-3i]	⑤ [eqn: 7+3i]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (x+a) ^{2} (2x-1) ^{2}]을 전개한 식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 25]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

다항식 [eqn: 3x ^{3} +5x+11]을 [eqn: x^2 -x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때,
[eqn: Q(1)]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

이차방정식 [eqn: 3x^2 -4x+2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: {1} over {alpha}], [eqn: 1overbeta]을 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 1인 이차방정식은? [4.6점]

① [eqn: x^2 - 1over2 x + 3over2 =0]   ② [eqn: x^2 + 1over2 + 3over2 =0]

③ [eqn: x^2 +2x + 3over 2 =0]    ④ [eqn: x^2 -2x + 3over2 =0]

⑤ [eqn: x^2 - 3 over2 x+2=0]

다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족할 때, [eqn: f(0)]의 값은? [4.7점]

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누면 나머지가 [eqn: 4]이다.

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: x+2]로 나누면 나머지가 [eqn: -5]이다.

(다) [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x+2)]로 나누면 몫과 나머지가

서로 같다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

다항식 [eqn: x ^{2} +xy-2y ^{2} -x+7y-6]이 [eqn: (x+ay-3)(x+by+c)]로 인수분해 될 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [4.7점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

직선 [eqn: y=x+3]은 이차함수 [eqn: y=x ^{2} `+k]의 그래프와는 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=x^2 -3x+2k+5]의 그래프와는 만나지 않는다. 이때 정수 [eqn: k]의 개수는? [4.7점]

① [eqn: 1개]	② [eqn: 2개]	③ [eqn: 3개]

④ [eqn: 4개]	⑤ [eqn: 5개]

복소수 [eqn: z]와 그 켤레복소수 [eqn: barz]에 대하여 [eqn: 3iz+2 barz =8+7i]가 성립할 때, [eqn: {z}over{1-i}]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 3over2 - 1over2 i]	② [eqn: 3over2 + 1over2 i]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2-i]	⑤ [eqn: 2+i]

계수가 실수인 [eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 +2(k-a)x +k^2 +4k +b-1=0]
이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 중근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은? [4.8점]

① [eqn: -3]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b]의 그래프가 점 [eqn: (-1,```4)]를 지나고 [eqn: x]축에 접할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a>0]이다.) [4.8점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

함수 [eqn: y=(x^2 +1)^2 +2(x^2 +1)+3]의 최솟값은? [4.8점]

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차방정식 [eqn: x ^{3`}+ax^2 +bx-10=0]의 한 근이 [eqn: 1+2i]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

연립방정식 [eqn: {cases{2x+y+z=5#2x+3y-z=-1#x-2y+3z=10}}]의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta], [eqn: z=gamma]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} +`beta ^{2} `+`gamma ^{2}]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 14]

상수 [eqn: a_0], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_6]에 대하여 등식
[eqn: (2+4x-x ^{3} ) ^{2`} =`a _{0} `+a _{1`} x+a _{2} x ^{2`} +a _{3} x ^{3} +a _{4} x ^{4} +a _{5} x ^{5} +a _{6} x ^{6}]
이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a _{0} +a _{2} +a _{4} +a _{6}]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

다항식 [eqn: 3x ^{3} `-2x ^{2} +3x+7]을 다항식 [eqn: A]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: 3x+1]이고, 나머지가 [eqn: -2x+5]이다. 다항식 [eqn: A=x ^{2} +ax+b]라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -4x+k=0]의 한 근은 [eqn: 0]과 [eqn: 1] 사이에, 다른 한 근은 [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 있도록 하는 실수 [eqn: k]값의 범위는? [4.9점]

① [eqn: -2<k<0]	② [eqn: -1<k<1]

③ [eqn: 0<k<2]	④ [eqn: 1<k<3]

⑤ [eqn: 2<k<3]

사차방정식 [eqn: x^4 -x^3 -2x^ 2 +6x -4=0]의 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값은? [4.9점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

연립방정식 [eqn: cases {x^2 +3xy+y^2 =1 # x^2 +4xy+5y^2 =2]의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라 할 때,
[eqn: alpha^2 + beta^2]의 최댓값은? [4.9점]

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 3over5]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 24]

서술형

두 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -7]과 [eqn: g(x)=-2x^2 +5]가 있다. 아래의 그림과 같이 네 점 [eqn: {rmA}(a,```f(a))], [eqn: {rmB}(a,```g(a))], [eqn: {rmC}(-a,```g(-a))],
[eqn: {rmD}(-a,```f(-a))]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이가 최대가 되도록 하는 [eqn: a]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. (단, [eqn: 0<a<2]이다.) [5.0점]

빗변의 길이가 [eqn: 10]인 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 [eqn: 2]씩 줄였더니 넓이가 처음 직각삼각형의 넓이의 [eqn: 1over2]인 직각삼각형이 되었다. 처음 직각삼각형의 직각을 낀 두 변의 길이를 [eqn: x], [eqn: y]라 할 때, 물음에 답하시오. [총 5.0점]

(1) 문제의 조건을 이용하여 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식을

구하시오. [1.0점]

(2) [eqn: x+y=A]라 할 때, [eqn: A]를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[2.0점]

(3) 처음 직각삼각형의 직각을 낀 두 변의 길이를 구하는

풀이과정과 답을 쓰시오. [2.0점]

[2016년 덕이고]

[1학년 1학기 중간]

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